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今回のオンライン授業は、シリーズ「魔法の数字『2』を探せ！」の番外編・深掘り授業です。

「望遠鏡もない時代に、2000年前の天文学者は星の動きをどうやって正確に計算したと思う？」

この問いから授業が始まりました。

授業テーマの説明

星を測った男、プトレマイオス
―― 算楽塾ラボ所長・島上直人先生の教材『数学者への道』No.12より ――

プトレマイオス（83?〜168?）は古代ローマの天文学者です。
彼の著書『アルマゲスト』は古来の天文学を集大成したもので、
中世ヨーロッパで1000年以上も「宇宙の教科書」として使われました。

プトレマイオスの最大の武器は、「円の中の四角形に隠れた法則」でした。
この法則を使って弦の表（現代の三角関数表に相当）を作成し、
夜空の天体の動きを正確に計算したのです。
今日はその「秘密の法則」を、自分の手で発見します。

授業で扱う内容

体験ワーク：円の中に「奇跡」を探せ

授業では、コンパス・定規・電卓を使ったワークから始めました。
ルールはシンプルです。コンパスで円を描き、円周上に好きな4点（A・B・C・D）を置く。
どんな形でも構わない。「絶対に一致するはずがない、バラバラな四角形」を作ってもらいます。

次に定規で辺（AB・BC・CD・DA）と対角線（AC・BD）の長さを測り、電卓で2つの値を計算します。

• ① 対角線の掛け算：AC × BD
• ② 向かい合う辺の掛け算の足し算：AB × CD + BC × DA

「①と②は一致するだろうか？」

「ぜったいしないよ！こんなバラバラな形なのに！」

ところが、計算すると、一致したのです。

これが「プトレマイオスの定理（トレミーの定理）」です。

円に内接する四角形では
「対角線の積」＝「向かい合う辺の積の和」
AC × BD ＝ AB × CD ＋ BC × DA

どんな形の四角形を作っても、円の中に入れると絶対に成り立つ。
この普遍性こそが、数学の美しさです。

探究：正三角形が生み出す「美しき和」

次に、この定理を正三角形に当てはめてみました。
円に内接する正三角形A・B・Cを描き、円周上の好きな場所に点Pを置きます。
するとP・A・B・Cという四角形が現れます。

Pの位置を変えながら、PA・PB・PCの3本の長さを定規で測ってみると……。

「あれ、PAがPBとPCを足した長さとぴったり同じになる！」

「Pを動かしても、変わらない！」

一番長い線は、残りの2本の合計と等しい。

積み木が2つで1つと同じ重さになるような、シンプルで美しい調和。
子どもたちは目を輝かせながら、Pをどんどん動かして確かめていました。

発展：正五角形から黄金比を「召喚」する

さらに授業は深まります。今度は正五角形です。
シリーズ第1〜4回で学んできた正多面体──その正十二面体の各面が正五角形でした。
プラトンが「宇宙全体の配置を調和するもの」と呼んだ立体の、その顔です。

円に内接する正五角形を用意し、定規で辺（s）と対角線（d）の長さを測り、
電卓で「対角線 ÷ 辺（d÷s）」を計算してもらいます。

どんなサイズの正五角形でも……　d ÷ s ≒ 1.618……

「これ、前にフィボナッチ数列で電卓を叩いたとき、近づいていった数字と同じだ！」

その通りです。プトレマイオスの定理を正五角形に当てはめると、
辺と対角線の間にこの関係が成り立ちます。

d² ＝ s² ＋ s × d
（対角線の自乗）＝（辺の自乗）＋（辺）×（対角線）

この式の比率こそが黄金比です。
1本の法則が、フィボナッチ数列・黄金比・正五角形をすべて繋いでいた。

「あっ、全部つながってる！」

この瞬間の子どもたちの声が、算楽塾の授業で一番好きな音です。

宇宙との接続

黄金比は正五角形の中だけにとどまりません。
算楽塾ラボ所長・島上直人先生の教材『数学者への道』No.2では、
安倍晴明が魔除けに使った五芒星（ペンタグラム）の起源が、
金星の軌跡にあることが紹介されています。

地球が太陽の周りを8回公転する間に、金星はほぼ13回公転します。
8と13は隣り合うフィボナッチ数。その軌跡を繋ぐと、宇宙に巨大な五芒星が描かれるのです。
さらに最新の理論物理学では、ブラックホールが安定を取り戻そうと振動する際の比率にも、
黄金比が隠されていることが示唆されています。

プトレマイオスが星を見るために作った1本の法則が──正三角形の調和を暴き──
正五角形の骨格を貫き──最後にはブラックホールや植物の種の並びにまで繋がっていた。

数学は、バラバラに見える世界を一つに繋ぐ「共通の言語」なのです。

算楽塾としての授業のねらい

「測って、計算して、驚く」体験がエピソード記憶を刻む

算楽塾では、公式を暗記させることをしません。
「絶対に一致するはずがない四角形で計算したら、一致した」という驚きの体験こそが、
一生消えない記憶として子どもたちの中に刻まれます。脳科学の観点からも、
自力で「わかった！」と感じた瞬間に脳は快の信号を出し、その学びを長期記憶として定着させます。

「全部つながってる！」という発見の喜び

フィボナッチ数列、黄金比、正多面体、五芒星、天文学——。
これらを別々に「知識の断片」として覚えるのではなく、一本の糸で繋がっていることを体験する。
この「知識の連鎖」こそが、算数を「世界を読み解くための冒険」に変えます。
これからも、子どもたちと一緒に宇宙の設計図を読み解いていきたいと考えています。

「わからなくていい。それが、考える力の始まりだ。」

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