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こんにちは。
講師の平間です。

全5回のシリーズ「魔法の数字『2』を探せ！ 多面体に隠された宇宙の設計図」の第2回です。

前回の授業では、2枚の紙帯から正四面体を編み上げ、
オイラーの多面体定理（V − E + F = 2）という宇宙の共通ルールに触れました。

今回のテーマは、その小さなパーツを積み上げていく「探究の積み木」です。

一見、単純な作業の繰り返しに見えますが、そこには平面から3次元へと広がる「数の山」と、
終わりのない美しい模様「フラクタル」が隠されていました。

授業テーマの説明

3次元に広がる「パスカルの三角形」
―― 算楽塾ラボ所長・島上直人先生の教材『数学者への道』No.23より ――

以前の授業では、平面の上で数字を足し合わせ、
ピラミッドのような「パスカルの三角形」を作りました。

今回はそれを3次元へと拡張します。
平面では2つの数字を足して下の段を作りましたが、
3次元では3つの数字を足していく「三項定理」の世界が広がります。

小さな正四面体をピラミッドのように積み上げていくと、各段に並ぶブロックの数は、
この3次元パスカルの三角形の数字と一致するのです。

フラクタルとは何か

「フラクタル」とは、1975年に数学者ブノワ・マンデルブロが提唱した概念です。
「図形の一部を切り出しても、全体と似た形になっている」という自己相似の性質を指します。

海岸線の形、雲の広がり、ロマネスコ（カリフラワーの一種）の模様。
自然界の至るところに、この「部分が全体を映し出す」構造が見られます。

パスカルの三角形を奇数と偶数で塗り分けると「シェルピンスキーの三角形」という
フラクタル図形が現れることは、以前の授業で体験しました。

今回はそれを3次元へ拡張します。

授業で扱う内容

正四面体のピラミッドを積み上げよう

授業では、小さな正四面体を1段、2段、3段……と積み上げるシミュレーションを行いました。

1段目　1個
2段目　3個
3段目　6個

合計が増えていく中で、子どもたちは自然に気づき始めます。

「1、3、6……これって三角数だ！」

三角数とは、正三角形のように並べた点の数のこと（1、3、6、10……）。
規則性を見つけた瞬間の子どもたちの目が輝きます。
「4段目には何個必要かな？」自分で予測し、確かめる。
このプロセスが算楽塾の授業の核心です。

浮かび上がる「穴あきピラミッド」の謎

ここで、パスカルの三角形で体験した「塗り分け」を3次元で試しました。

「奇数の段には色を塗り、偶数の段は空洞にする」という操作を頭の中で行うと、
巨大なピラミッドの中に小さなピラミッドがいくつも並び、不思議な隙間が生まれます。

これが、3次元版のシェルピンスキー図形である「シェルピンスキーの四面体」です。

「積み上げたはずなのに、中がスカスカのレース編みみたいになった！」
「小さな三角ピラミッドが、大きなピラミッドの中にコピーされているみたい！」

子どもたちの驚きは、まさにフラクタルの本質である「自己相似性」に気づいた瞬間でした。

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算楽塾としての授業のねらい

平面から立体へ、知識がつながる瞬間

算楽塾では、単元ごとに切り離された「知識の断片」を教えるのではなく、
学びどうしがつながっていく体験を大切にしています。

パスカルの三角形（平面）
　　↓
シェルピンスキーの三角形（フラクタル）
　　↓
正四面体のピラミッド（立体）
　　↓
シェルピンスキーの四面体（3次元フラクタル）

この流れを体験した子どもたちは、「算数の知識がつながっている」という感覚を持ちます。
これが、一生モノの「考える力」の土台になります。

「わからなくていい」から始まる探究

フラクタルは「1次元と2次元の間に住む図形」とも言われ、その次元は小数になります。
これは大人の頭でもすぐには理解できない、深遠な数学の世界です。

なぜ、ただの足し算の繰り返しが、自然界と同じ複雑な形を作り出すのか。
その問いを抱えたまま、驚きを心に刻むこと。
それが、将来どんな難問に直面しても、自らの力で考え続けようとする姿勢を育みます。

次回は、この多面体の探究をさらに深め、北欧の美しい装飾「ヒンメリ」を通じて、
立体の中に隠された「入れ子の関係（双対性）」を旅します。

「わからなくていい。それが、考える力の始まりだ。」

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