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こんにちは。

今回の授業は、算楽塾「数学者への道」番外編・深掘り授業です。

「1796年3月30日の朝、19歳の青年ガウスが目覚めて起き出ようとする刹那に、
正十七角形の作図法を思いついた。」

この一文から授業が始まりました。
そして子どもたちへ、最初の問いを投げます。

「なぜ正17角形なのか。正16角形ではダメなのか？」

答えはすぐには教えません。

「今日は、ある『隠しコマンド』を探す授業です。
この隠しコマンドは、塗り絵の中にも、巨大な素数の中にも、
コンパスで描ける図形の中にも、まったく同じ形で潜んでいます。」

この宣言で、謎解きの旅が始まりました。

授業テーマの説明

今日の主役たち
―― 算楽塾ラボ所長・島上直人先生の教材『数学者への道』No.4・No.10・No.23より ――

今日の授業には、3人の数学者が登場します。

17世紀のフランスで「魔法の数」を予想したフェルマー。
18世紀に10桁の素因数分解を手計算でやってのけたオイラー。
そして19歳の朝に「2000年間誰も気づかなかった真理」を発見したガウス。

3人の仕事は、まったく別のテーマに見えます。
しかし今日の授業の最後に、それらが一本の糸で繋がります。

授業で扱う内容

体験ワーク：塗り絵に「フラクタル（自己相似）」が現れた

まず、パスカルの三角形（16段）のワークシートを使い、
奇数だけに色を塗る作業から始めました。

• 奇数（2で割り切れない数）→ 色を塗る
• 偶数（2で割り切れる数）→ 白のまま

16段まで丁寧に塗り進めると……
大きな三角形の中に、小さな三角形が整列した「レース編み」のような模様が現れました。
これが「シェルピンスキーの三角形」と呼ばれるフラクタル（自己相似）図形です。

「どんな段に注目すると、全部が奇数のマスになるだろう？」

1段目、2段目、4段目、8段目……「2の段だけ」

2を1回掛けると2、2回掛けると4、3回掛けると8——
このように「2を何回か掛け合わせた数」のことを「2の冪（べき）」と呼びます。

「2」が隠れている、という予感を持ちながら、次の謎へ進みます。

フェルマーの「魔法の数」と、オイラーの衝撃

17世紀のフランス数学者フェルマーは、

「2²ⁿ + 1という形の数（フェルマー数）がすべて素数になると予想しました。

電卓で確かめてみましょう。

• F₀ ＝ 3　　→ 素数
• F₁ ＝ 5　　→ 素数
• F₂ ＝ 17　 → 素数
• F₃ ＝ 257　→ 素数
• F₄ ＝ 65537 → 素数

5つとも素数です。
フェルマーの予想は正しいかもしれない。

ところが――

1732年、数学の巨人オイラーはF₅を調べました。

F₅ ＝ 4,294,967,297（10桁！）

この巨大な数を手計算で調べ、
4,294,967,297 ＝ 641 × 6,700,417 と素因数分解してみせたのです。

素数ではなかったのです。

電卓でF₅を表示させると、子どもたちは

「これを手で計算したの？」

と目を丸くしていました。

フェルマー素数は現在のところ 3・5・17・257・65537 の5個のみ。
65537を超えるフェルマー素数が存在するかどうかは、今も誰も知りません。

コンパスで描ける正多角形の条件

ここで、冒頭の謎に戻ります。
「なぜ正17角形なのか。正16角形ではダメなのか？」

ガウスが発見した定理
「定規とコンパスだけで作図できる正n角形の条件は、頂点の数 n が『2の冪（べき）』と『異なるフェルマー素数の積』であること。」

• 正3角形（n=3）　→ フェルマー素数 F₀=3 → 作図OK！
• 正5角形（n=5）　→ フェルマー素数 F₁=5 → 作図OK！
• 正17角形（n=17）→ フェルマー素数 F₂=17 → ガウスが証明！作図OK！
• 正15角形（n=15）→ 3×5（異なるフェルマー素数の積）→ 作図OK！
• 正7角形 → 7はフェルマー素数ではない → 作図不可！
• 正9角形 → 3²（同じフェルマー素数の2乗は不可）→ 作図不可！

「正16角形（＝2⁴）は作図できる。
でも正17角形が特別なのは、17がフェルマー素数だから。」

謎が解けました。

授業のクライマックス：「全部つながった！」

最後に、3つのテーマを一本に繋ぎます。

• 塗り絵の「全部奇数になる段」→ 1段目・2段目・4段目・8段目…… → 2の冪（べき）
• フェルマー数の形 → 2の（2のn乗）＋1 → 2の冪（べき）が核にある
• 作図できる正多角形の条件 → フェルマー素数（2の冪（べき）＋1の素数）

すべての根っこに「2」が隠れていました。

「全部つながってる！」

算楽塾としての授業のねらい

「謎」を先に投げるから、発見の喜びが生まれる

算楽塾では、答えを最初に教えません。

「なぜ正17角形なのか？」という問いを冒頭に仕掛け、
子どもたちが塗り絵・計算・作図という3つの体験を「謎解きの手がかり集め」として経験します。
そして最後に「全部つながった！」という瞬間が訪れる。

自力でたどり着いた答えは、教えられた知識よりはるかに深く残ります。
脳科学の観点からも、自力で「わかった！」と感じた瞬間に脳は快の信号を出し、
その学びをエピソード記憶として定着させます。

バラバラに見えた知識が、一本の糸で繋がる

パスカルの三角形の塗り絵。
フェルマーの予想。
ガウスの正17角形。

それぞれ別々に見えていたものが、「2のパワー」という一本の糸で繋がる瞬間。
この「知識の連鎖」こそが、算楽塾の授業が目指すものです。

島上先生の教材『数学者への道』No.4のガウスの章には、こんな言葉があります。

「数学は、人種、国地域、言語、思想信条、価値観、時空を超えた『永遠の真理』です。」

ガウスが19歳の朝に感じた「2000年間誰も気づかなかった真理を見つけた」という喜びを、
子どもたちにも届けたい。それが、この授業の根底にある願いです。

「わからなくていい。それが、考える力の始まりだ。」

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