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こんにちは。

全5回シリーズ「魔法の数字『2』を探せ！ 多面体に隠された宇宙の設計図」が
いよいよ最終回を迎えました。

第1回の正四面体から始まり、フラクタル、ヒンメリ、黄金比と旅してきた子どもたち。
今日はその旅の終点──そして新しい出発点です。

「この魔法の約束が『2』にならない図形なんて、この世に存在するのだろうか？」

この問いから、最後の授業が始まりました。

授業テーマの説明

旅の案内人オイラーと、シリーズの振り返り
―― 算楽塾ラボ所長・島上直人先生の教材『数学者への道』No.7・No.48より ――

今日の授業は、まずこのシリーズを通じて私たちの旅を導いてくれた
「数学の巨人」レオンハルト・オイラー（1707〜1783）を振り返るところから始まります。

「膝には子供、肩には猫、書いているのは不朽の数学の名著。」

「オイラーは生きることと、計算することをやめた。」

今日はそのオイラーが残した最後の問いを探しに行きます。
まず、5回の旅を一枚で振り返りました。

• 第1回　正四面体を編む → V − E + F ＝ 2 の発見
• 第2回　フラクタル（自己相似）のピラミッド → 2のパワー（2の冪（べき）＝2×2×2……と掛け合わせた数）が隠れていた
• 第3回　ヒンメリと双対性 → 2つの立体が入れ子になる
• 第4回　正二十面体と黄金比 → 黄金比もフィボナッチも2と繋がる
• 第5回　穴あき図形 → 「2」が崩れたとき、何が生まれるか？

授業で扱う内容

体験ワーク①：「2」が崩れた！

画面にドーナツ型の立体（トーラス）を提示します。
「これもV − E + F を計算したら、2になるだろうか？」

格子状の線が引かれたトーラスの図を観察し、頂点・辺・面を数え上げます。

• 頂点（V）＝ 12
• 辺（E）＝ 24
• 面（F）＝ 12

V − E + F ＝ 12 − 24 + 12 ＝ 0

「2にならない！ 0になっちゃった！」

さらに、穴が2つあるダブルトーラスで計算すると −2 になります。

• 穴が0個（球）　　 → V − E + F ＝ 2
• 穴が1個（トーラス）→ V − E + F ＝ 0
• 穴が2個　　　　 → V − E + F ＝ −2

「穴の数が増えるたびに、2ずつ減っていく！」

この「穴の数に応じて変わる数」を「オイラー標数（ひょうすう）」と呼びます。

体験ワーク②：輪ゴムで「形の本質」を感じる

次に、輪ゴムを一本使ったワークです。
「この輪ゴムをちぎらずに変形すると、どんな形まで作れるかな？」丸くしたり、
細長くしたり、8の字に交差させたり。
どれだけ変形しても、輪ゴムは「穴が1つの輪」であることは変わりません。

「ではこの輪ゴムを、穴のない球のような形にできるか？」

できない。穴をなくすには、どこかで切るしかない。
長さも、太さも、形も関係ない。穴の数だけが「本質」だ。

トポロジーの世界では「コーヒーカップ（持ち手の穴が1つ）」と
「ドーナツ（穴が1つ）」は「同じ形」として扱われます。
コーヒーカップをやわらかい粘土で作れば、切らずにドーナツの形に変形できるから。
長さ・角度・面積を捨てて、「穴の数」と「つながり方」だけを見る新しい数学が、
トポロジー（位相幾何学）です。

探究：100年の難問とオイラーが残した問い

球の表面にどこ置いた輪ゴムも、必ず一点に縮めて回収できます。

しかしドーナツの穴を通るように置いた輪ゴムは、回収できないルートが生まれます。
「図形上のどこに置いたロープも1点に縮めて回収できる図形」を「単連結」と呼びます。
球は単連結。ドーナツは非単連結。

1904年、フランスの数学者ポアンカレがこの問いを提起しました。

「どこにロープを置いても回収できる、穴のない3次元の形は、必ず球に変形できるか？」

この問いは2003年にロシアの数学者ペレルマンが証明するまで、100年間誰も解けませんでした。
驚くべきは、ペレルマンはこの証明に対して授与された「フィールズ賞（数学のノーベル賞）」も
「100万ドルの賞金」も、両方とも断ったことです。

宇宙探査機が宇宙のどこにいても出発点に戻れるなら、宇宙は「穴のない単連結な形」です。
宇宙の形が単連結かどうか、まだ誰も知りません。

算楽塾としての授業のねらい

「2」が壊れたとき、新しい数学が生まれる

第1回から守り続けてきた「V − E + F ＝ 2」という法則が崩れる瞬間。

算楽塾が大切にしているのは、
この「当たり前が通用しない瞬間」を子どもたちが自分で体験することです。

「わからない」「おかしい」「どうして？」という感覚こそが、新しい数学の入り口です。
トポロジーという学問は、「2が成り立たないことへの疑問」から生まれました。

5回の旅を「一つの物語」として完結させる

正四面体を編んだ日から今日まで、子どもたちは「2」という魔法の数字を追いかけてきました。
最終回でその「2」が崩れることを自分で発見し、
さらに大きな数学の世界が広がっていることを体感する。
この「旅の完結と次の出発」こそが、算楽塾が目指す学びの姿です。

「君たちがこれから出会う新しい『穴』や『ねじれ』の中にも、
きっとまだ誰も知らない魔法の数字が眠っています。」

「わからなくていい。それが、考える力の始まりだ。」

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